Nejstarší zprávu o Budči známe ze zápisu v zemských deskách z roku 1377, kdy Jan mladší z Meziříčí před svou cestou do Itálie připisuje dědičně všechen svůj majetek svému strýci Janovi staršímu z Meziříčí. Osada byla zřejmě současně založena s osadou Veselí ke konci 13. století. Název vesnice je uváděn jako villa Budcye (název se neměnil až do roku 1881). Ves patřila pod farnost Nové Veselí a s tímto pozdějším městečkem (od roku 1536) byly osudy vsi spojeny až do nedávné minulosti. Ves patřila ve středověku pod panství Velké Meziříčí. V roce 1596 je Budeč uváděna jako součást novoveselského statku, který patřil Aleně Berkovně z Lomnice, která vzala do spoluvlastnictví Václava Berku z Dubé, a to až do roku 1617. Od roku 1709 patřila ves, obdobně jako řada dalších okolních vesnic, ždárskému klášteru. Tak jeko celé panství, provázelo i tuto ves období hospodářského rozvoje, především za opata Vejmluvy. Se zrušením kláštera císařem Josefem II. v roce 1784 přešla ves patrně pod správu církevního fondu.
Autor Vlastivědy moravské uvádí, že podle pamětníků začala se v Budči asi ve 30. letech předminulého století těžit železná ruda pro vysokou pec v Polničce. Pracovalo tu asi 15 havířů, hlavní šachta byla 50 sáhů (99m) hluboká. Havíři se do šachty spouštěli rumpálem, stejně tak rumpálem vytahovali rudu. Voda se ze šachty odváděla štolou k rybníčku u pazderny. Když začal provoz v Polničce upadat, zanikla kolem roku 1890 i těžba rudy v Budči. Novodobý průzkum ložiska byl zahájen v roce 1957. Pro malou vydatnost ložiska však těžba zahájena nebyla.
V období mezi světovými válkami byla v roce 1928 postavena budova místní školy, která svému původnímu účelu sloužila až do roku 1990. Budova prošla v roce 1993 generální opravou, v současné době v ní sídlí obecní úřad, místní knihovna, jsou zde shromažďovací prostory pro místní obyvatele. Přízemí budovy je pronajato výrobní firmě.
Osudy obce po II.světové válce jsou ovlivněny změnami v celé společnosti. Vlivem společenských změn dochází k postupnému vylidňování obce, v 50. a 60.tých letech odešla z obce řada převážně mladých lidí. Tím se snížil počet obyvatel asi z 200 na 150 v roce 1960. V průběhu 60. a 70. let se podařilo tento trend zastavit, v obci se postavila řada nových rodinných domků, vodovod, kanalizace, nové komunikace a chodníky, nové rozvody elektrické energie a osvětlení, postavila se nová budova prodejny, autobusové zastávky a dětské hřiště. Integrací národního výboru pod Nové Veselí došlo k utlumení aktivit až do 90. let minulého století.
Budeč, jako obec blízká a spádová k Novému Veselí, nevyvíjela v minulosti spolkovou činnost. Také v současné době zde existuje pouze dobrovolný sbor hasičů (založený v roce 1898). Řada občanů se účastní veřejného, sportovního či spolkového života v blízkém Novém Veselí či Žďáru nad Sázavou.